Topic: Wie verdenkt wie: de exacte aanpak

[Wiske]

Voor de exacte mensen onder ons even een heel andere aanpak om achter de mol te komen

Ik (Wiske) heb een wiskundige analyse uitgevoerd op het "wie-verdenkt-wie" schema! Voor alledrie de mogelijke mollen heb ik berekend hoe waarschijnlijk de werkelijke volgorde van afvallen is voor deze molkeuze. De verschillen zijn klein, maar ik ben blij dat mijn berekeningen laten zien dat het het meest waarschijnlijk is dat Jantien de mol is (als het schema klopt). En dat dacht ik al die tijd al!

Ik heb de volgende aannames gedaan:
-Als iemand op de mol stemt, zal hij/zij met 100% zekerheid niet afvallen (dit zou zeker niet kloppen als iedereen in een aflevering op de juiste mol had gestemd, maar dit is nooit voorgekomen).
-Iedereen die niet op de mol stemt, heeft evenveel kans om af te vallen (klopt natuurlijk niet, maar we hebben nu eenmaal niet genoeg informatie om onderscheid te maken en de berekeningen werden zo ook al erg complex  ...)
-Degene die afvalt heeft niet op de mol gestemd, al weten we niet op wie hij/zij heeft gestemd.
-Iemand die niet afviel maar waarvan de stemkeuze onbekend is, heeft met evenveel kans op welke deelnemer dan ook (die nog over is) gestemd. De kans dat dit de mol was, kan dan berekend worden.

Jaja, ik weet het... Heel wat grove vereenvoudigingen, dus we kunnen het na deze berekeningen natuurlijk nog niet zeker weten!

De resultaten:

Als Jantien de Mol is zijn de kansen dat de deelnemers pas zijn afgevallen in de aflevering zoals het gegaan is:
Erik   0,101111111
Pamela   0,117298942
Dick   0,132630491
Kerstin   0,189270202
Karen   0,120377979
Prince   0,157311058
Harry   0,095528408
Ellen   0,087300348
George   0,365909661
John   0,190295634
(Vooral Ellen heeft dan dus veel geluk gehad met het beantwoorden van de vragen).
en de totale kans voor de werkelijke volgorde van afvallen:
3,27398E-09

Als George de Mol is zijn de kansen dat de deelnemers pas zijn afgevallen in de aflevering zoals het gegaan is:
Erik   0,101111111
Pamela   0,117298942
Dick   0,099472868
Kerstin   0,102655071
Karen   0,102824038
Prince   0,122509016
Harry   0,107444785
Ellen   0,204561381
John   0,273713968
Jantien   0,168919242
en de totale kans voor de werkelijke volgorde van afvallen:
1,55034E-09

Als John de Mol is zijn de kansen dat de deelnemers pas zijn afgevallen in de aflevering zoals het gegaan is:
Erik   0,126785714
Pamela   0,228009343
Dick   0,096205703
Kerstin   0,161250839
Karen   0,074435975
Prince   0,071767098
Harry   0,116740425
Ellen   0,204734758
George   0,135205038
Jantien   0,130495362
(dit is heel onwaarschijnlijk voor Karen en Prince)
en de totale kans voor de werkelijke volgorde van afvallen:
1,01026E-09

Toch een opvallend verschil tussen Jantien en de andere twee. Ik blijf dus bij Jantien als Mol!  

P.S.
Ik studeer wiskunde, dus je kunt wel enig vertrouwen stellen in de berekeningen...
Als je erg geinteresseerd bent, kan ik je wel de Excel-sheet met de berekeningen mailen. Je kunt dan ook per aflevering zien hoe groot de kans was dat de kandidaten er nog in zaten.

[vlaming]

ha die wiske!
bij professor barabas langs geweest? ik ben onder de indruk van al die getalletjes maar ik begrijp er eerlijk gezegd geen sikkepit van   toch bedankt om het hier te zetten, ben zeker dat er een paar mensen hier dit zeer interessant gaan vinden
groetjes
vlaming

[bertha531]

Ik vind het ook zeer interresant; maar idd herkomst van deze cijfers weet ik niet.
Dat je wiskunde studeert is helaas voor mij niet genoeg om deze cijfers klakkeloos aan te nemen  :-/   ...

Graag zou ik de data vernemen waardoor deze cijfers tot stand zijn gekomen (wie stemt op wie) en de rekenmethode natuurlijk!

-Iemand die niet afviel maar waarvan de stemkeuze onbekend is, heeft met evenveel kans op welke deelnemer dan ook (die nog over is) gestemd. De kans dat dit de mol was, kan dan berekend worden.

Ik snap deze zin niet, nouja mischien een beetje, de stem wordt verdeeldt over alle andere kandidaten?? Mischien wordt dit ook duidelijker als je de totstandkoming van de cijfers verklaard.
Maar ontzettend vaak is het onduidelijk wie op wie stemt, daardoor is het lastig om ''harde cijfers'' te genereren lijkt me, maargoed...

Gr. B.

[Han13]

I'm impressed! Geweldig al die cijfertjes! Daar hou ik nu van!

En aangezien wiskunde mij ook erg interesseert, zou ik 't ook leuk vinden om je berekeningen te mogen ontvangen. Stuur ze aub maar naar han13_widm@hotmail.com.  

Alvast bedankt!  

[Tweety]

Heel goed berekend (denk ik) en heel interessant hoor maar.....hoe weet je nou wie wat heeft gestemd? Heb je ook een marge gerekend voor de regie, die ons er regelmatig tussen neemt? Zoals Harry die zogenaamd voor Ellen gaat, maar eigenlijk opbiecht voor Jantien te hebben gestemd?
En wat heeft Ellen nou eigenlijk gestemd voor ze afviel???

Voor mij allemaal te veel vragen.

[Han13]

Heel goed berekend (denk ik) en heel interessant hoor maar.....hoe weet je nou wie wat heeft gestemd?

Ik geloof dat Wiske gebruik heeft gemaakt van dit schema.

Maar idd moeten we wel rekening houden met 't feit dat er misschien erg veel creatief gemonteerd is, waardoor we niet de juiste indruk krijgen van wie op wie stemd.  :-\

[konijn]

Voordat ik commentaar ga leveren ook graag even de berekeningen in excel naar heinlely@hotmail.com
Ziet er wel degelijk uit voorlopig. Je aannames klinken heel goed. Het lijkt mij alleen erg belangrijk dat je zoveel informatie gebruikt over de stemkeuzes van de deelnemers. Zonder enige informatie bestaat er namelijk geen enkel verschil. Maar het probleem is, dat deze informatie behoorlijk onbetrouwbaar is. De verklaringen van de kandidaten worden op deze site en op die van Erik TKS zelfs regelmatig anders uitgelegd.

[Tweety]

Ik geloof dat Wiske gebruik heeft gemaakt van dit schema.

Maar idd moeten we wel rekening houden met 't feit dat er misschien erg veel creatief gemonteerd is, waardoor we niet de juiste indruk krijgen van wie op wie stemd.  :-\

Dat is dus precies wat ik bedoel Han. Op het schema staat bijv. dat Ellen in afl. 1234 en 8 op John heeft gestemd en 5,6 onbekend (oid) maar als Karen afvalt (afl. 6?) zegt ze weer dat ze al 5 keer op Karen had gestemd.
Dus wat Ellen nou echt gestemd heeft is mij niet duidelijk hoor..
En dat is dan nog maar één voorbeeld.

Maar toch leuk berekend....

[Wiske]

Graag zou ik de data vernemen waardoor deze cijfers tot stand zijn gekomen (wie stemt op wie) en de rekenmethode natuurlijk!

Maar ontzettend vaak is het onduidelijk wie op wie stemt, daardoor is het lastig om ''harde cijfers'' te genereren lijkt me, maargoed...

De data zijn inderdaad gewoon afkomstig uit het wie verdenkt wie schema van deze site. En ja, zoals velen al opgemerkt hebben, zijn deze lang niet zeker dus ik moet toegeven dat dat wel een beetje een probleem is waar ik geen exacte oplossing voor heb  . Maar ik ga er wel vanuit dat de meeste informatie in het schema wel zal kloppen! (ik heb helaas geen tijd meer voor een onzekerheidsanalyse).

Hieronder een uitleg met een voorbeeld van mijn rekenmethode:

Kies een van de overgebleven deelnemers als mol en bepaal voor alle afleveringen en alle deelnemers of er op deze mol is gestemd of niet (maakt niet uit wie dan, omdat ik de kans op afvallen bij een verkeerde molkeuze gelijk heb genomen) of dat dit onbekend was.

Stel in een aflevering zitten nog vijf deelnemers.
Het stemgedrag van de mol doet er niet toe. Van de overige vier stemt er (bijvoorbeeld) 1 op de mol, 2 niet op de mol en van 1 weten we het niet: J N N W

Elke kandidaat kan uit vier mensen kiezen om op te stemmen. De kans dat WeetNiet op de mol heeft gestemd, is dus 1/4.

Stel WeetNiet heeft op de mol gestemd. De kans dat je eruit vliegt als je niet op de mol gestemd hebt, is dan 1/2 (immers: stemgedrag is dan J N N J, een van de twee die niet op de mol hebben gestemd zal afvallen).

Stel WeetNiet heeft niet op de mol gestemd. De kans dat je eruit vliegt als je niet op de mol gestemd hebt, is dan 1/3 (immers: stemgedrag is dan J N N N, een van de drie die niet op de mol hebben gestemd zal afvallen).

De kans om af te vallen bij niet stemmen op de mol is dan dus:
1/4*1/2 + 3/4*1/3 = 3/8.

(Bij een stemronde waarin het stemgedrag van meerdere personen onbekend is, wordt dit nog wat ingewikkelder: bv. bij drie onbekende stemmen moeten alle mogelijkheden JJJ, JJN, NNJ en NNN berekend worden).

Voor deze stemronde geldt dan:
J heeft kans 0 om af te vallen
N heeft kans 3/8 om af te vallen
W heeft kans 3/4*3/8 = 9/32 om af te vallen.

Zo heb ik voor elke deelnemer de kans bepaald dat hij in de betreffende aflevering afvalt.

Noteer de kans dat deelnemer A afvalt in afl. x met  p_Ax.
Stel deelnemer A valt af in de derde aflevering. Dan is zijn totale kans:
pA = P(A valt niet af in 1)*P(A valt niet af in afl. 2)*P(A valt af in afl. 3) =
(1-p_A1)*(1-p_A2)*p_A3

Vermenigvuldig tenslotte alle totale kansen van alle deelnemers.

Herhaal de hele berekening voor alle mogelijke mollen.

[konijn]

Rekenmethode lijkt correct en met een paar kleine tests ben ik nog geen fouten tegengekomen. Na een korte bestudering van de cijfers kwam ik tot de volgende hypothese, graag commentaar.

Hypothese:
De hoge waarschijnlijkheid bij Jantien als mol is bijna geheel veroorzaakt door het stemgedrag van George.

Verder denk ik een foutje ontdekt te hebben, maar zonder jou excel file (die ik graag zou ontvangen) duurt narekenen erg lang. Hoe komt Ellen aan haar grote afvalkans met George als mol. Deze is bijna net zo groot als haar afvalkans met John als mol, terwijl ze nooit op George heeft gestemd (volgens het wiestemtopwie-schema). Moet deze kans niet ongeveer gelijk zijn aan haar afvalkans met Jantien als mol, dus 0.087 ipv 0.204?

[Wiske]

Hypothese:
De hoge waarschijnlijkheid bij Jantien als mol is bijna geheel veroorzaakt door het stemgedrag van George.

Verder denk ik een foutje ontdekt te hebben, maar zonder jou excel file (die ik graag zou ontvangen) duurt narekenen erg lang. Hoe komt Ellen aan haar grote afvalkans met George als mol. Deze is bijna net zo groot als haar afvalkans met John als mol, terwijl ze nooit op George heeft gestemd (volgens het wiestemtopwie-schema). Moet deze kans niet ongeveer gelijk zijn aan haar afvalkans met Jantien als mol, dus 0.087 ipv 0.204?

Met de hypothese ben ik het wel eens. Zijn stemgedrag is immers ook niet onbelangrijk, want hij zit er nog steeds in. Verder werkt zijn stemgedrag daardoor dus ook negatief voor John als mol, want dan daalt de kans dat George er nog in zit natuurlijk enorm. Maar omdat echt alle stemmen en alle afleveringen verwerkt zijn, geeft het wel echt een totaalbeeld.

De excel file was al onderweg! Verder is een foutje natuurlijk altijd mogelijk, maar ik heb het al vrij goed nagekeken. Als je toch een fout ontdekt, hoor ik het graag!

Op de sheet kun je de kansen van Ellen per aflevering bekijken. Het valt dan bijvoorbeeld op dat ze vooral in de laatste aflevering een grotere afvalkans had met George als mol dan met Jantien als mol. Dit komt omdat ze als George de mol is, de enige was die in die aflevering met zekerheid (volgens het schema) niet op de mol stemde, terwijl als Jantien de mol was, er twee kandidaten met zekerheid niet op de mol stemden.

[aggie]

Ik vind de rekenmehtode prima, echter de gebruikte data is in mijn ogen zeer onbetrouwbaar.
We hebben de afgelopen weken een aantal gemene verrassingen in het stemgedrag gezien. Dat bleek dan achteraf in de exit gesprekken etc...

[Tweety]

Op de sheet kun je de kansen van Ellen per aflevering bekijken. Het valt dan bijvoorbeeld op dat ze vooral in de laatste aflevering een grotere afvalkans had met George als mol dan met Jantien als mol. Dit komt omdat ze als George de mol is, de enige was die in die aflevering met zekerheid (volgens het schema) niet op de mol stemde, terwijl als Jantien de mol was, er twee kandidaten met zekerheid niet op de mol stemden.

Kun je hiermee dan ook berekenen wie er de meeste kans heeft om te winnen als John de mol zou zijn?
Da vink pas echt interessant!

[Jayne]

Kun je hiermee dan ook berekenen wie er de meeste kans heeft om te winnen als John de mol zou zijn?
Da vink pas echt interessant!

Daar heb ik al eens een (vergezochte) berekening aan gewijd :

Die theorie ging ervan uit dat als 2 kandidaten op elkaar stemmen, en dus niet op de mol, degene die het minst bij de mol in een groep of zelfde situatie had gezeten de meeste kans had om 'per ongeluk' een vraag goed te hebben.

Daaruit bleek dat George de meeste kans had om dan te winnen.

[Tweety]

O ja Jayne, da's waar ook. Ik was het even vergeten  
Ik hoop trouwens niet dat je gelijk hebt, want dan heb ik de pool niet goed ingevuld..  

[Jayne]

Troost je, ikzelf ook Tweety!

[Wiske]

Konijn heeft inderdaad een klein foutje in mijn Excel sheet gevonden! (niet in de methode).

Daarom zal ik voor de volledigheid hier even de verbeterde resultaten neerzetten. De grootste waarschijnlijkheid voor de afvalvolgorde geeft (gelukkig) nog steeds Jantien, maar de John aanhangers kunnen blij zijn, want hij staat nu op 2 ! Zie de volgende cijfers:

Jantien = mol geeft kansen voor het afvallen:
Erik   0.101111111
Pamela   0.117298942
Dick   0.132630491
Kerstin   0.10025302
Karen   0.13911575
Prince   0.187546678
Harry   0.113889232
Ellen   0.100889328
George   0.422866354
John   0.226870981
en totale kans 4.53554E-09

John=mol?   
Erik   0.126785714
Pamela   0.116209422
Dick   0.110199339
Kerstin   0.099926422
Karen   0.100641076
Prince   0.100101052
Harry   0.16283004
Ellen   0.236603321
George   0.178978268
Jantien   0.178206431
totaal:   2.00846E-09

George=mol?   
afl   
Erik   0.101111111
Pamela   0.117298942
Dick   0.099472868
Kerstin   0.102655071
Karen   0.102824038
Prince   0.122509016
Harry   0.107444785
Ellen   0.204561381
John   0.273713968
Jantien   0.168919242
totaal:   1.55034E-09